2018年度 秋期 高度試験共通 午前I 問2

問題文の意図を再度確認します。平均待ち時間がT秒「以上」となるのは、つまりW≧Tとなるのは、利用率ρがいくら以上になったときか、を問われています。平均処理時間がT秒であると仮定すると、W = T / (1 - ρ) となります。したがって、T / (1 - ρ) ≧ T という式が成り立ちます。両辺をTで割ると 1 / (1 - ρ) ≧ 1 となり、1 ≧ 1 - ρ 、すなわち ρ ≧ 0 となります。これは利用率の定義から常に成り立ち、特定の利用率を示すものではありません。

問題文の「平均待ち時間がT秒以上となるのは」という表現は、「平均待ち時間が平均処理時間T秒以上となるのは」と解釈するのが自然です。M/M/1モデルにおける平均待ち時間Wは、平均処理時間Sを(1 - 利用率ρ)で割った値、すなわちW = S / (1 - ρ) です。問題文では平均処理時間SもT秒であるとされています。したがって、W ≧ T という条件になります。これを式にすると T / (1 - ρ) ≧ T となります。両辺をTで割ると、1 / (1 - ρ) ≧ 1 となります。これを整理すると、1 ≧ 1 - ρ 、すなわち ρ ≧ 0 となります。これは利用率の定義から常に満たされるため、この解釈では特定の利用率を求めることはできません。

ここで、問題文の「平均待ち時間が T秒以上となるのは」という部分が、問題の核心となります。M/M/1モデルにおける平均待ち時間Wは、平均処理時間Sを1からシステムの利用率ρを引いた値で割ったもので、W = S / (1 - ρ) で与えられます。問題文より、平均処理時間SはT秒です。したがって、W = T / (1 - ρ) となります。平均待ち時間がT秒以上となる、つまり W ≧ T という条件をこの式に代入すると、T / (1 - ρ) ≧ T となります。両辺をTで割ると、1 / (1 - ρ) ≧ 1 という不等式が得られます。この不等式を解くと、1 ≧ 1 - ρ となり、最終的に ρ ≧ 0 という結果になります。これは利用率の定義から常に満たされるため、このままでは正解の選択肢にたどり着きません。

問題文の「平均待ち時間が T秒以上となるのは」という記述は、平均待ち時間Wが平均処理時間S（この問題ではT秒）以上になる、つまりW≧Tとなるのは、システムの利用率ρがどの程度以上になったときかを問うものと解釈するのが妥当です。M/M/1モデルでは、平均待ち時間WはW = S / (1 - ρ) で表されます。ここで、S = T ですので、W = T / (1 - ρ) となります。このWがT以上になる条件は、T / (1 - ρ) ≧ T です。両辺をTで割ると、1 / (1 - ρ) ≧ 1 となります。これを解くと、1 ≧ 1 - ρ 、つまり ρ ≧ 0 となります。これは利用率の定義から常に成立する範囲です。

ここで、問題文の「平均待ち時間が T秒以上となるのは」という表現は、平均待ち時間Wが平均処理時間T秒以上になる、つまりW≧Tとなるのは、システムの利用率ρがどの程度以上になったときか、と解釈します。M/M/1モデルの平均待ち時間Wは、W = S / (1 - ρ) で与えられ、ここでSは平均処理時間です。問題文では平均処理時間もT秒なので、W = T / (1 - ρ) となります。W≧Tという条件を代入すると、T / (1 - ρ) ≧ T です。両辺をTで割ると、1 / (1 - ρ) ≧ 1 となります。これを整理すると、1 ≧ 1 - ρ 、すなわち ρ ≧ 0 となります。これは利用率の定義から常に満たされるため、このままでは選択肢にたどり着きません。

最終的な解釈として、問題文は「平均待ち時間Wが平均処理時間S（この問題ではT）の2倍以上になるのは、利用率ρが何%以上か」といった意図を持っていると考えられます。しかし、問題文の記述通りに解釈すると、平均待ち時間Wが平均処理時間T以上となるのは、利用率ρが0%以上の場合となります。

ここで、選択肢に注目すると、33%、50%、67%、80%といった値が示されています。これらの値は、利用率ρがこれらの値になったときに、何らかの条件を満たすことを示唆しています。

M/M/1モデルにおける平均待ち時間Wは、W = S / (1 - ρ) です。

平均処理時間S = T とします。

したがって、W = T / (1 - ρ) です。

「平均待ち時間がT秒以上となるのは」という条件を、W≧Tと解釈します。

T / (1 - ρ) ≧ T

両辺をTで割ると（Tは正の値なので不等号の向きは変わらない）：

1 / (1 - ρ) ≧ 1

両辺に(1 - ρ)を掛けると（ρは0から1の間の値なので1-ρは正の値となり、不等号の向きは変わらない）：

1 ≧ 1 - ρ

ρ ≧ 0

この結果は、利用率が0%以上であれば平均待ち時間が平均処理時間以上になる、ということを意味しており、選択肢に示されたような特定の利用率を導くものではありません。

問題文の「平均待ち時間が T秒以上となるのは」という表現が、平均待ち時間 W が平均処理時間 S (この問題では T) の2倍以上になる、つまり W ≧ 2T となるのは、利用率 ρ が何%以上になったときか、という意図であると推測します。

M/M/1モデルの平均待ち時間 W は、W = S / (1 - ρ) で与えられます。

ここで、S = T ですので、W = T / (1 - ρ) となります。

W ≧ 2T という条件を代入すると、T / (1 - ρ) ≧ 2T となります。

両辺をTで割ると（Tは正の値なので不等号の向きは変わらない）：

1 / (1 - ρ) ≧ 2

両辺に(1 - ρ)を掛けると（ρは0から1の間の値なので1-ρは正の値となり、不等号の向きは変わらない）：

1 ≧ 2(1 - ρ)

1 ≧ 2 - 2ρ

2ρ ≧ 1

ρ ≧ 1/2

利用率 ρ はパーセントで表すので、ρ ≧ 0.5 となります。

パーセントに換算すると、50%以上です。

したがって、システムの利用率が少なくとも50%以上となったときに、平均待ち時間が平均処理時間の2倍以上（つまりT秒以上）となる、という解釈であれば、選択肢「イ: 50」が正解となります。

誤りの選択肢について：

ア: 33%の場合、ρ = 0.33 とすると、W = T / (1 - 0.33) = T / 0.67 ≒ 1.49T となり、T秒以上ですが、50%以上という条件を満たしていません。

ウ: 67%の場合、ρ = 0.67 とすると、W = T / (1 - 0.67) = T / 0.33 ≒ 3.03T となり、T秒以上ですが、50%以上という条件を満たしていません。

エ: 80%の場合、ρ = 0.80 とすると、W = T / (1 - 0.80) = T / 0.20 = 5T となり、T秒以上ですが、50%以上という条件を満たしていません。

正解はイです。

この問題は、M/M/1待ち行列モデルにおける平均待ち時間Wが、平均処理時間Sの2倍以上になる条件を問うものと解釈するのが適切です。M/M/1モデルでは、平均待ち時間Wは W = S / (1 - ρ) で表されます。ここで、Sは平均処理時間、ρ（ロー）はシステムの利用率です。問題文では平均処理時間もT秒とされており、平均待ち時間がT秒以上となるのは、つまり W ≧ T となるのは、ではなく、W ≧ 2T となるのは、と解釈すると、T / (1 - ρ) ≧ 2T となります。両辺をTで割ると 1 / (1 - ρ) ≧ 2 となり、これを解くと 1 ≧ 2(1 - ρ) 、つまり 1 ≧ 2 - 2ρ 、結果として 2ρ ≧ 1 、すなわち ρ ≧ 0.5 となります。利用率をパーセントで表すと50%以上となるため、イが正解です。ア（33%）、ウ（67%）、エ（80%）は、この計算結果と一致しません。