令和6年度 上期 第三種電気主任技術者 理論 問10

【インダクタ側枝】V(X)=0が固定されたことで、この枝は単純な直列RL回路(1V源—1Ω—1H—接地)となる。

di_L/dt + i_L = 1 (L=R=1)、i_L(0)=0 より

i_L(t) = 1 − e^(−t) [A] (時定数τ₁=L/R=1s)

【コンデンサ側枝】V(X)=0で固定されるため、この枝は電源を持たない単純なCR直列の放電回路(C=2F, R=1Ω)となる。節点Xから枝へ流れ出す向きを正とする電流をi₂とすると

i₂ = C dV_C/dt, V_C = −i₂R (V(X)=0のため)

これを解くと V_C(t) = V_C(0)e^(−t/RC) = e^(−t/2)、

i₂(t) = −e^(−t/2) [A] (時定数τ₂=RC=2s、負号は実際には母線側からXへ向けて電流が流れ込むことを意味する)

【節点Xでのキルヒホッフ電流則】流入=i_L、流出=i_S+i₂ より

i_S(t) = i_L(t) − i₂(t) = (1 − e^(−t)) − (−e^(−t/2)) = 1 + e^(−t/2) − e^(−t) [A]

この式から:

・t=0直後: i_S(0⁺) = 1+1−1 = 1A(スイッチ電流は連続性の制約を受けないため、開放時の0Aから閉成の瞬間に1Aへ不連続にジャンプする。これはコンデンサに蓄えられていた電圧がスイッチを介して瞬時に放電電流を供給するため)。

・傾き: di_S/dt = −(1/2)e^(−t/2) + e^(−t)。t=0でdi_S/dt=0.5>0のため、そこからさらに増加する。

・極大点: di_S/dt=0 ⇒ e^(−t/2)=0.5 ⇒ t=2ln2≈1.386s、このときi_S=1+0.5−0.25=1.25A(最大値)。

・t→∞: e^(−t/2), e^(−t)→0 のため i_S→1A(これはi_Lの最終値1Aがすべてスイッチを流れ、コンデンサ枝電流が0に収束することと一致)。

以上より波形は、(a)開放時0Aから閉成の瞬間に1Aへ跳躍し、(b)なめらかに単調増加して約1.386sで極大1.25Aに達し、(c)その後は振動することなく単調に減少して1Aへ漸近する——という、振動のない単峰(オーバーシュート1回のみ)の波形になる。これに最も一致するのは(3)である。