2018年度 秋期 高度試験共通 午前I 問2

M/M/1待ち行列モデルにおいて、平均待ち時間Wは 1/(μ-λ) で表されます。ここでμはサービス率（単位時間あたりの処理件数）、λは到着率（単位時間あたりの到着件数）です。問題文より、1件の伝票データの処理時間が平均T秒の指数分布に従うことから、サービス率μは 1/T です。また、伝票データがポアソン分布に従って到着することから、到着率λをu（利用率）とすると、λ = uμ となります。したがって、平均待ち時間Wは 1/(μ-uμ) = 1/(μ(1-u)) = T/(1-u) となります。平均待ち時間がT秒以上となるのは、T/(1-u) ≧ T、つまり 1/(1-u) ≧ 1、すなわち 1-u ≦ 1、つまり u ≧ 0 となります。しかし、これは誤りです。問題文の「平均待ち時間が T秒以上となるのは」という条件は、平均待ち時間W ≧ T という意味です。したがって、 T/(1-u) ≧ T となり、両辺をTで割ると 1/(1-u) ≧ 1、すなわち 1-u ≦ 1 が成り立ちます。さらに u ≧ 0 も満たす必要があります。

ここで、選択肢の利用率を代入して計算します。

ア: u=0.33 のとき W = T/(1-0.33) = T/0.67 ≒ 1.5T > T

イ: u=0.50 のとき W = T/(1-0.50) = T/0.50 = 2T > T

ウ: u=0.67 のとき W = T/(1-0.67) = T/0.33 ≒ 3T > T

エ: u=0.80 のとき W = T/(1-0.80) = T/0.20 = 5T > T

問題文は「平均待ち時間が T秒以上となるのは、システムの利用率が少なくとも何%以上となったときか」と問われています。これは、条件W ≧ T を満たす最小の利用率を求める問題です。W = T/(1-u) ですから、W ≧ T となるのは T/(1-u) ≧ T 、すなわち 1/(1-u) ≧ 1 、すなわち 1-u ≦ 1 、すなわち u ≧ 0 となります。しかし、これは利用率の定義から常に成り立ちます。

ここで、問題文を再確認すると、「平均処理時間が平均T秒」であり、待ち行列モデルでは通常、平均サービス時間 1/μ を指します。したがって、1/μ = T となります。利用率をρとすると、平均待ち時間Wは W = (ρ/μ) / (1-ρ) = (ρT) / (1-ρ) となります。ここで、平均待ち時間がT秒以上となるのは W ≧ T、すなわち (ρT)/(1-ρ) ≧ T となります。両辺をTで割ると ρ/(1-ρ) ≧ 1 、すなわち ρ ≧ 1-ρ 、つまり 2ρ ≧ 1 、したがって ρ ≧ 0.5 となります。利用率をパーセントで表すと50%以上となります。

よって、正解はイです。

誤りの選択肢について、ア、ウ、エの利用率では平均待ち時間はT秒以上となりますが、問題は「少なくとも何%以上」と最小値を求めているため、それより低い利用率でも条件を満たす場合があるため、最小値としては不適切です。