2018年度 秋期 情報処理安全確保支援士 午前I 問2

ここで、平均待ち時間「T秒」という記述は、後続の計算のために、実際には「平均サービス時間」が何らかの値（例えば S 秒）であることを意味していると解釈するのが適切です。そして、平均待ち時間が S 秒以上となる条件を求める、と読み替えます。M/M/1モデルでは、平均待ち時間 W は W = ρ / (μ(1-ρ)) で表されます。ここで μ はサービス率（1/平均サービス時間）です。問題文の「1件の伝票データの処理時間は、平均T秒の指数分布に従う」という記述を「平均サービス時間 = T秒」と解釈すると、μ = 1/T となります。すると、平均待ち時間 W は W = ρ / ((1/T)(1-ρ)) = T * ρ / (1-ρ) となります。

この W が T 秒以上となる条件を考えます。つまり T * ρ / (1-ρ) ≧ T です。両辺を T で割ると ρ / (1-ρ) ≧ 1 となります。この不等式を解くと、ρ ≧ 1 - ρ、つまり 2ρ ≧ 1、よって ρ ≧ 0.5 となります。システムの利用率（ρ）は0.5、すなわち50%以上となるとき、平均待ち時間が平均サービス時間T秒以上となります。

したがって、正解はイの50%です。

選択肢ア（33%）、ウ（67%）、エ（80%）は、この不等式 ρ ≧ 0.5 を満たさないか、あるいは満たす場合でも最小の利用率ではないため誤りです。例えば、利用率が33%や67%では、平均待ち時間がT秒以上になる条件を満たさない、あるいは条件を満たすための最小値ではありません。80%では条件を満たしますが、最小値ではありません。